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Nos interesa ver en qué condiciones los valores de una función se aproxima a un número real determinado cuando los puntos del dominio se acercan a un punto a, que puede o no pertenecer a dicho dominio. El límite de la función f(x) en el punto x=a se representa utilizando la siguiente notación:
Investigaremos el comportamiento de la función f definida por 𝒇(𝒙) = 𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟐 para valores cercanos a 2. En la tabla siguiente se dan los valores de f(x) para valores de x cercanos a 2, pero no iguales a 2. Damos a x valores cercanos a 2 por su izquierda y su derecha.
Al hablar del límite de una función se entiende que es el estudio del comportamiento de ésta, en
un punto específico, pero si aplicamos el análisis (por separado) entre los números menores al
punto y mayores a él, estamos hablando de límites laterales de una función.
Si el límite por la izquierda y derecha de ese punto no tienen el mismo valor, podríamos decir que
el límite no existe, por lo tanto, los límites laterales son una forma de comprobar su
existencia. De manera general, podemos expresar este teorema del siguiente modo:
Los límites laterales en el punto 𝒙 = −𝟐 de la función representada gráficamente coinciden, ya que el valor de la función tiende a 3 indistintamente de si nos aceramos a 𝒙 = −𝟐 por la izquierda o por la derecha. En consecuencia, el límite de la función en 𝒙 = −𝟐 es igual a 3.
En cambio, en el punto 𝒙 = 𝟒 los límites laterales son distintos, ya que por la izquierda la función se aproxima a 𝒇(𝒙) = 𝟑 pero por la derecha la función se aproxima a 𝒇(𝒙) = 𝟐. De modo que el límite de la función en este punto no existe.
